Question

已知函数f（x）=lnx-ax²-2x（a＜0）
（Ⅰ）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a=-且关于x的方程f（x）=-x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

Answer

（I）利用导数进行理解，即f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．可得ax2+2x-1＞0在正数范围内至少有一个解，结合根的判别式列式，不难得到a的取值范围．
（II）关于x的方程f（x）=-x+b可化为：x2-x+lnx-b=0，设方程的左边为g（x），利用导数讨论g（x）的单调性，得到它在[1，4]上先减再增，并且得到g（2）是极小值，g（1）和g（4）是极大值，由此建立不等式组并解之，可得实数b的取值范围．
【解析】
（I）对函数求导数，得f'（x）=（x＞0）
依题意，得f'（x）＜0在（0，+∞）上有解．即ax2+2x-1＞0在x＞0时有解．
∴△=4+4a＞0且方程ax2+2x-1=0至少有一个正根．
再结合a＜0，得-1＜a＜0…（5分）
（II）a=-时，f（x）=-x+b即x2-x+lnx-b=0
设g（x）=x2-x+lnx-b，则g'（x）=
∴当x∈（0，1）时，g'（x）＞0；当x∈（1，2）时，g'（x）＜0；当x∈（2，4）时，g'（x）＞0．
得函数g（x）在（0，1）和（2，4）上是增函数．在（1，2）上是减函数
∴g（x）的极小值为g（2）=ln2-b-2；g（x）的极大值为g（1）=-b-，且g（4）=-b-2+2ln2；---（5分）
∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．
∴，解之得：ln2-2＜b≤-…（5分）