Question

已知函数f（x）=x|x-2|．
（1）写出f（x）的单调区间；
（2）设a＞0，求f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer

（1）首先去掉函数的绝对值，写成分段函数，然后求出函数的单调增区间与单调减区间；
（2）设a＞0，对a进行讨论分0＜a＜1时，1≤a≤2、、，借助函数的单调区间分别求f（x）在[0，a]上的最大值．
【解析】
（1）f（x）=x|x-2|==
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，1]和[2，+∞），单调递减区间是[1，2]．
（2）①当0＜a＜1时，f（x）在[0，a]上是增函数，
此时f（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（2-a）；             
②当1≤a≤2时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，
所以此时f（x）在[0，a]上的最大值是f（1）=1
③当时，f（x）在[0，1]是增函数，在[1，2]上是减函数，在[2，a]上是增函数，
而，
所以此时f（x）在[0，a]上的最大值是f（1）=1
④当时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，2]上是减函数，在[2，a]上是增函数，
而，
所以此时f（x）在[0，a]上的最大值是f（a）=a（a-2）
综上所述，f（x）max=．