Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，M，N分别是PB，PC的中点，PA=AB，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AB⊥BC．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：平面AMN⊥平面PBC；
（3）若AD-AB=1，PD=，∠CDA=45°，求二面角P-AB-N的大小．

Answer

（1）由M，N分别是PB，PC的中点，知MN∥BC，由AB⊥AD，AB⊥BC，知BC∥AD，MN∥AD，由此能够证明MN∥平面PAD．
（2）由PA=AB，M是PB的中点，知AM⊥PB，由PA⊥底面ABCD，知BC⊥PA，由BC⊥AB，知BC⊥平面PAB，由此能够证明平面AMN⊥平面PBC．
（3）由PA⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，知PA⊥AD，由PA=AB，知PA2+AD2=PD2，由PA=AB，，知AB2+AD2=PD2=5，联立，解得．方法一（向量法）：以A为坐标原点，分别以直线AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角P-AB-N的大小；方法二（几何法）由（2）知BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，由N是直角三角形Rt△PBC斜边上的中线，知．同理．故AN=BN．由此能求出二面角P-AB-N的大小．
（本小题满分14分）
【解析】
（1）证明：∵M，N分别是PB，PC的中点，
∴MN是△PBC的中位线，∴MN∥BC，
又∵AB⊥AD，AB⊥BC，
∴BC∥AD，∴MN∥AD，…（1分）
AD⊂平面PAD，…（2分）MN⊄平面PAD，…（3分）
∴MN∥平面PAD．…（4分）
（2）∵PA=AB，M是PB的中点，
∴AM⊥PB…（5分）
∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PA，
又∵BC⊥AB，PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，AM⊂平面PAB，
∴AM⊥BC．…（6分）
PB∩BC=B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴AM⊥平面PBC．…（7分）
又AM⊂平面AMN…（8分）
∴平面AMN⊥平面PBC．…（9分）
（3）∵PA⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，
∴PA⊥AD，又PA=AB，∴PA2+AD2=PD2，
又PA=AB，，∴AB2+AD2=PD2=5，
联立，解得．
过点C作CH⊥AD于H，
在Rt△DHC中，∠CDH=45°，CH=AB=1，
∴DH=1，∴BC=AH=1．…（10分）
方法一（向量法）：以A为坐标原点，分别以直线AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
如图所示．…（11分）

则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），
，，，．
由（2）知是平面PAB的一个法向量；
设平面NAB的法向量为，
则，即，
得．取．…（12分）．…（13分）
结合图可知，二面角P-AB-N的大小为45°．…（14分）
方法二（几何法）

由（2）知BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，
∴BC⊥PB，
∵N是直角三角形Rt△PBC斜边上的中线，∴．
同理．∴AN=BN．
取AB的中点Q，连AQ，则AB⊥NQ．
连MQ，易知MQ∥PA，
∴MQ⊥AB．MQ⊂平面PAB，NQ⊂平面NAB，
∴∠MQN即是二面角P-AB-N的平面角．…（11分）
在Rt△PBC中，，
∴，∴在Rt△BQN中，
，
，，…（12分）
∴在△MQN中，MQ2+MN2=NQ2，又有MN=MQ，
∴△MQN是以∠NMQ为直角的等腰直角三角形，
∴∠MQN=45°．…（13分）
∴二面角P-AB-N的大小为45°．…（14分）