Question

已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立，求实数k的最小值；
（3）证明：（n∈N^*）．

Answer

（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，即可求得a的值；
（2）当k≤0时，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合题意；当k＞0时，令g（x）=f（x）-kx2，即g（x）=x-ln（x+1）-kx2，求导函数，令g′（x）=0，可得x1=0，，分类讨论：①当k≥时，，g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）=0；②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，因此g（x）在上单调递增，，由此可确定k的最小值；
（3）当n=1时，不等式左边=2-ln3＜2=右边，不等式成立；当n≥2时，，在（2）中，取k=，得f（x）≤x2，从而可得，由此可证结论．
（1）【解析】
函数的定义域为（-a，+∞），求导函数可得
令f′（x）=0，可得x=1-a＞-a
令f′（x）＞0，x＞-a可得x＞1-a；令f′（x）＜0，x＞-a可得-a＜x＜1-a
∴x=1-a时，函数取得极小值且为最小值
∵函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，
∴f（1-a）=1-a-0，解得a=1
（2）【解析】
当k≤0时，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合题意
当k＞0时，令g（x）=f（x）-kx2，即g（x）=x-ln（x+1）-kx2，
求导函数可得g′（x）=
g′（x）=0，可得x1=0，
①当k≥时，，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；
②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，因此g（x）在上单调递增，
因此取时，g（x）≥g（0）=0，即有f（x）≤kx2不成立；
综上知，k≥时对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，k的最小值为
（3）证明：当n=1时，不等式左边=2-ln3＜2=右边，所以不等式成立
当n≥2时，
在（2）中，取k=，得f（x）≤x2，∴（i≥2，i∈N*）．
∴=f（2）+＜2-ln3+=2-ln3+1-＜2
综上，（n∈N*）．