Question

长为l（l＜1）的线段AB的两个端点在抛物线y²=x上滑动，则线段AB中点M到y轴距离的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

设线段AB的两个端点A（x1，y1），B（x2，y2），将两点分别代入抛物线解析式得到y12=x1，y22=x2，由A和B的位置得到y1y2＜0，联立两等式表示出y1y2，再由抛物线开口向右，得到线段AB中点M到y轴距离，即为M的横坐标，利用线段中点坐标公式表示出M的横坐标，利用基本不等式求出横坐标的最小值，以及此时x1=x2，再由线段AB的长为l，由两点的坐标，利用两点间的距离公式列出关系式，将x1=x2代入，利用完全平方公式展开后，将y12=x1，y22=x2及表示出的y1y2代入，表示出x1+x2，代入M的横坐标中，即可表示出线段AB中点M到y轴距离的最小值．
【解析】
设A（x1，y1），B（x2，y2），
将A和B分别代入抛物线y2=x得：y12=x1，y22=x2，
又y1y2＜0，
∴x1x2=（y1y2）2，即y1y2=-，
∵抛物线y2=x开口向右，
∴线段AB中点M到y轴的距离为，
由x1+x2≥2，得到当且仅当x1=x2时，取得最小值，
∴此时x1+x2=2，又线段AB的长为l，
∴（x1-x2）2+（y1-y2）2=（y1-y2）2=l2，
即y12+y22-2y1y2=x1+x2+2=2（x1+x2）=l2，
∴x1+x2=l2，
则线段AB中点M到y轴距离的最小值为=．
故选D