Question

如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，过点A作⊙O₁的切线交⊙O₂于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O₁、⊙O₂于点D、E，DE与AC相交于点P．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD是⊙O₂的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．

Answer

（1）由弦切角定理，得∠BAC=∠D．由同弧所对的圆周角，得∠BAC=∠E，所以∠D=∠E，最后由平行线的判定得AD∥EC；
（2）在⊙O1中利用切割线定理，算出PB=3．再在⊙O2中由相交弦定理，得出PE=4，最后在⊙O2利用切割线定理，即可算出
AD的长．
【解析】
（1）连接AB，
∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D．
又∵∠BAC=∠E，
∴∠D=∠E，可得AD∥EC；
（2）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O2的割线，
∴PA2=PB•PD，即62=PB（PB+9），解之得PB=3．
又∵⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=PB•PE，
∴6×2=3×PE，得PE=4．
∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，
∴AD2=DB•DE=9×16=144，解得AD=12．