Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2）．
（1）设b_n=a_n+1+λa_n，是否存在实数λ，使数列{b_n}为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）方法1：假设存在实数λ，使数列{bn}为等比数列，通过以及an+1=an+2an-1，解得λ=1或λ=-2，λ=1，λ=-2，分别说明数列{bn}为等比数列．
方法2：假设存在实数λ，使数列{bn}为等比数列，设（n≥2），转化为an+1+λan=q（an+λan-1），就是an+1=（q-λ）an+qλan-1，与an+1=an+2an-1比较，
解得λ=1或λ=-2，存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．
（2）解法1：由（1）知（n≥1），当n为偶数时，当n为奇数时，分别求出数列{an}的前n项和．
解法2：由（1）知（n≥1），构造（n≥1），通过拆项法求出{}的通项公式，然后求出数列的前n项和．
解法3：由（1）可知，，求出，当n为偶数时，；当n为奇数时，，分别求出数列{an}的前n项和．
（本小题满分14分）
（1）方法1：假设存在实数λ，使数列{bn}为等比数列，
则有．                                     ①…（1分）
由a1=1，a2=3，且an+1=an+2an-1，得a3=5，a4=11．
所以b1=a2+λa1=3+λ，b2=a3+λa2=5+3λ，b3=a4+λa3=11+5λ，…（2分）
所以（5+3λ）2=（3+λ）（11+5λ），
解得λ=1或λ=-2．…（3分）
当λ=1时，bn=an+1+an，bn-1=an+an-1，且b1=a2+a1=4，
有（n≥2）．…（4分）
当λ=-2时，bn=an+1-2an，bn-1=an-2an-1，且b1=a2-2a1=1，
有（n≥2）．…（5分）
所以存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．
当λ=1时，数列{bn}为首项是4、公比是2的等比数列；
当λ=-2时，数列{bn}为首项是1、公比是-1的等比数列．…（6分）
方法2：假设存在实数λ，使数列{bn}为等比数列，
设（n≥2），…（1分）
即an+1+λan=q（an+λan-1），…（2分）
即an+1=（q-λ）an+qλan-1．…（3分）
与已知an+1=an+2an-1比较，令…（4分）
解得λ=1或λ=-2．…（5分）
所以存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．
当λ=1时，数列{bn}为首项是4、公比是2的等比数列；
当λ=-2时，数列{bn}为首项是1、公比是-1的等比数列．…（6分）
（2）解法1：由（1）知（n≥1），…（7分）
当n为偶数时，Sn=（a1+a2）+（a3+a4）+（a5+a6）+…+（an-1+an）…（8分）
=22+24+26+…+2n…（9分）
=．…（10分）
当n为奇数时，Sn=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（an-1+an）…（11分）
=1+23+25+…+2n…（12分）
=．…（13分）
故数列{an}的前n项和…（14分）
注：若将上述和式合并，即得．
解法2：由（1）知（n≥1），…（7分）
所以（n≥1），…（8分）
当n≥2时，
=
=．
因为也适合上式，…（10分）
所以=（n≥1）．
所以．…（11分）
则，…（12分）
=…（13分）
=．…（14分）
解法3：由（1）可知，…（7分）
所以．…（8分）
则，…（9分）
当n为偶数时，…（10分）
=．…（11分）
当n为奇数时，…（12分）
=．…（13分）
故数列{an}的前n项和…（14分）
注：若将上述和式合并，即得．