Question

已知长方形ABCD的AB=3，AD=4．AC∩BD=O．将长方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=a，得到三棱锥A-BCD，如图所示．过A作BD的垂线交BD于E．

（1）问a为何值时，AE⊥CD；
（2）当二面角A-BD-C的大小为90°时，求二面角A-BC-D的正切值．

Answer

（1）在△ABD中，AE⊥BD，根据AB=3，AD=4，可得BD=5，AE=，DE=，利用余弦定理可求CE，利用△ACE为直角三角形，可求AC的长；
（2）证明AE⊥面BCD，过E作BC的垂线交BC于F，连接AF，可得∠AFE就是二面角A-BC-D的平面角，进而可求二面角A-BC-D的正切值．
（1）证明：根据题意，在△ABD中，AE⊥BD，
∵AB=3，AD=4，∴BD=5，∴AE=
∴DE=，
∵cos∠BDC=，∴
当△ACE为直角三角形时，有，即时，△ACE为直角三角形
此时∵AE⊥BD，AE⊥EC，BD∩EC=E
∴AE⊥面BCD，∴AE⊥CD． 
（2）【解析】
∵二面角A-BD-C的大小为90°，AE⊥BD，∴AE⊥面BCD，
过E作BC的垂线交BC于F，连接AF，
∵AE⊥BC，BC⊥EF，∴BC⊥面AEF，∴BC⊥AF，
∴∠AFE就是二面角A-BC-D的平面角，
∵EF=，而AE=，
∴．