Question

已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．
（1）试判断函数f（x）=是否为（3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数？并说明理由；
（2）已知函数f（x）=-x²+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；
（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分．
（Ⅰ）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上m级类周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2^x，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）已知当x∈[0，4]时，函数f（x）=x²-4x，若f（x）是[0，+∞）上周期为4的m级类周期函数，且y=f（x）的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由题意可求得＞，f（x+1）＞2f（x）对一切x∈（3，+∞）恒成立，于是有函数f（x）=是（3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数；
（2）由题意可知：：（x-1）a＜x2-2x-1，整理可得a＜x-1-，令x-1=t，则t∈[2，+∞），g（t）=t-在[2，+∞）上单调递增，即可使问题解决；
（3）（Ⅰ）由x∈[0，1）时，f（x）=2x，可求得当x∈[1，2）时，f（x）=mf（x-1）=m•2x-1，…当x∈[n，n+1）时，f（x）=mn•2x-n，利用f（x）在[0，+∞）上单调递增，可得
m＞0且mn•2n-n≥mn-1•2n-（n-1），从而可求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当x∈[0，4]时，y∈[-4，0]，且有f（x+4）=mf（x），于是可求当x∈[4n，4n+4]，n∈Z时，f（x）=mn[（x-4n）2-4（x-4n）]，对m分当0＜m≤1时，-1＜m＜0，m=-1，m＞1与m＜-1时的讨论，即可得答案；
【解析】
（1）∵（x+1-1）-（x-1）2=-（x2-3x+1）＜0，即）（x+1-1）＜（x-1）2，
∴＞，即 ＞2，
即 f（x+1）＞2f（x）对一切x∈（3，+∞）恒成立，
故函数f（x）=是（3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数．
（2）由题意可知：【解析】
（1）由题意可知：f（x+1）＞2f（x），即-（x+1）2+a（x+1）＞2（-x2+ax）对一切[3，+∞）恒成立，
整理得：（x-1）a＜x2-2x-1，
∵x≥3，
∴a＜==x-1-，
令x-1=t，则t∈[2，+∞），g（t）=t-在[2，+∞）上单调递增，
∴g（t）min=g（2）=1，
∴a＜1．
（3）问题（Ⅰ）∵x∈[0，1）时，f（x）=2x，
∴当x∈[1，2）时，f（x）=mf（x-1）=m•2x-1，…
当x∈[n，n+1）时，f（x）=mf（x-1）=m2f（x-2）=…=mnf（x-n）=mn•2x-n，
即x∈[n，n+1）时，f（x）=mn•2x-n，n∈N*，
∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴m＞0且mn•2n-n≥mn-1•2n-（n-1），
即m≥2．
问题（Ⅱ）∵当x∈[0，4]时，y∈[-4，0]，且有f（x+4）=mf（x），
∴当x∈[4n，4n+4]，n∈Z时，f（x）=mf（x-4）=…=mnf（x-4n）=mn[（x-4n）2-4（x-4n）]，
当0＜m≤1时，f（x）∈[-4，0]；
当-1＜m＜0时，f（x）∈[-4，-4m]；
当m=-1时，f（x）∈[-4，4]；
当m＞1时，f（x）∈（-∞，0]；
当m＜-1时，f（x）∈（-∞，+∞）；
综上可知：-1≤m＜0或0＜m≤1．