Question

已知函数f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，x∈R，其中t∈R．
（1）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当t≠0时，求f（x）的单调区间．

Answer

（1）当t=1时，求出函数f（x），利用导数的几何意义求出x=0处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；
（2）根据f'（0）=0，解得x=-t或x=，讨论t的正负，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0求出单调区间即可．
【解析】
（1））当t=1时，f（x）=4x3+3x2-6x，f（0）=0，f'（x）=12x2+6x-6（2分）f'（0）=-6．所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-6x．（4分）
（2）【解析】
f'（x）=12x2+6tx-6t2，令f'（x）=0，解得x=-t或．（5分）
因为t≠0，以下分两种情况讨论：
（i）若t＜0，则t＜0，则，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x （-t，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↑ ↓ ↑

所以，f（x）的单调递增区间是的单调递减区间是．   （8分）
（ii）若，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x （-∞，t）
f'（x） + - +
f（x） ↑ ↓ ↑

所以，f（x）的单调递增区间是的单调递减区间是．（12分）