Question

设数列a_n的首项，且，记
（1）求a₂•a₃
（2）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）证明b₁+3b₂+5b₃．

Answer

（1）利用数列递推式，代入计算可得结论；
（2）{bn}是等比数列，利用，代入计算可可以证明；
（3）利用错位相减法求和，即可证得结论．
（1）【解析】
由题意，a2=a1+=，a3=a2=---------------------------------（4分）
（2）【解析】
{bn}是等比数列
证明如下：因为bn+1=a2n+1-=a2n-=（a2n-1-）=bn，（n∈N*）
所以{bn}是首项为，公比为的等比数列
所以-----（8分）
（3）证明：（2n-1）bn=
令Sn=b1+3b2+5b3+…+=+3•+…+①，则
Sn=+3•+…+（2n-3）•+②
①-②可得Sn=+2•+2•+…+2•-
∴Sn=，显然小于---------（13分）