Question

已知向量=（2，-1），=（sin，cos（B+C）），A、B、C为△ABC的内角的内角，其所对的边分别为a，b，c
（1）当•取得最大值时，求角A的大小；
（2）在（1）的条件下，当a=时，求b²+c²的取值范围．

Answer

（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算列出关系式，利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到关于sin的二次函数，由A的范围求出的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时sin的范围，利用二次函数的性质即可求出•取得最大值时A的度数；
（2）由a及sinA的值，利用正弦定理表示出b与c，再利用三角形的内角和定理用B表示出C，将表示出的b与c代入b2+c2中，利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出此时正弦函数的值域，即可确定出b2+c2的取值范围．
【解析】
（1）∵=（2，-1），=（sin，cos（B+C）），
∴•=2sin-cos（B+C）=2sin+cosA=2sin+（1-2sin2）=-2（sin-）2+，
∵0＜A＜π，∴0＜＜，
∴sin=，即A=时，•取得最大值；
（2）∵a=，sinA=，
∴由正弦定理====2，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∵C=π-（A+B）=-B，
∴b2+c2=4sin2B+4sin2C=4sin2B+4sin2（-B）
=4[+]
=4（1-）
=4+sin2B-cos2B
=4+2sin（2B-），
∵0＜B＜，∴-＜2B-＜，
∴-＜sin（2B-）≤1，
∴3＜b2+c2≤6，
则b2+c2的取值范围为（3，6]．