Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+n+1（n=1，2，3，…）．
（1）若{a_n}是等差数列，求其首项a₁和公差d；
（2）证明{a_n}不可能是等比数列；
（3）若a₁=-1，是否存在实数k和b使得数列{ a_n+kn+b}是等比数列，如存在，求出{a_n}的前n项和，若不存在，说明理由．

Answer

（1）利用数列递推式，及{an}是等差数列，可求其首项a1和公差d；
（2）利用反证法，即可证得；
（3）假设存在，利用数列{an+kn+b}是等比数列，建立等式，即可求得{an}的前n项和
（1）【解析】
∵an+1=2an+n+1，∴a2=2a1+2，a3=2a2+3=4a1+7，
∵{an}是等差数列，∴2a2=a1+a3，∴2（2a1+2）=a1+（4a1+7），∴a1=-3，a2=-4
∴d=a2-a1=-1；
（2）证明：假设{an}是等比数列，则
∴（2a1+2）2=a1（4a1+7），∴a1=-4，a2=-6，a3=-9，
∵a4=2a3+4=-14，∴与等比数列矛盾
∴假设不成立
∴{an}不可能是等比数列；
（3）【解析】
假设存在，则有==常数
∴，∴
∴{an+n+2}是等比数列，首项为2，公比为2
∴an+n+2=2n，
∴an=2n-n-2
∴{an}的前n项和为=