Question

对于函数f（x）=x|x|+px+q，现给出四个命题：
①q=0时，f（x）为奇函数
②y=f（x）的图象关于（0，q）对称
③p=0，q＞0时，方程f（x）=0有且只有一个实数根
④方程f（x）=0至多有两个实数根
其中正确命题的序号为    ．

Answer

①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数；
②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，再利用图象变换可得结论；
③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=；
④q=0，p=1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=-1，即方程f（x）=0有3个实数根．
【解析】
①若f（x）为奇函数，则f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px为奇函数，所以①正确．
②y=x|x|+px为奇函数，图象关于（0，0）对称，把y=x|x|+px图象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q图象，即得f（x）的图象关于点（0，q）对称，所以②正确．
③当p=0，q＞0时，x＞0时，方程f（x）=0的无解，x＜0时，f（x）=0的解为x=-（舍去正根），故③正确．
④q=0，p=1时，方程f（x）=0的解为x=0或x=1或x=-1，即方程f（x）=0有3个实数根，故④不正确．
故答案为：①②③