Question

已知函数f（x）=++．
（1）求y=f（x）在[-4，-]上的最值；
（2）若a≥0，求g（x）=++的极值点．

Answer

（1）求出f（x）的导函数，令导函数大于0求出x的范围，令导函数小于0求出x的范围，列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，由表得到函数的最值．
（2）求出f（x）的导函数，通过判断导函数等于0根的情况，对参数a进行分类讨论，求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值．
【解析】
（1）f′（x）=-．
令f′（x）＞0，得-3＜x＜-1，
令f′（x）＜0，得x＜-3，-1＜x＜0，x＞0．
列出x，f′（x），f（x）的变化情况表

x -4 （-4，-3） -3 （-3，-1） -1 （-1，-） -
f′（x） - + -
f（x） -

 极小值
- 极大值0 -2

∴最大值为0，最小值为-2．
（2）g′（x）=-；
设u=x2+4x+3a．
△=16-12a，
①当a≥时，△≤0，g′（x）≤0，所以y=g（x）没有极值点
②当0＜a＜时，x1=-2-，x2=-2+＜0．
减区间：（-∞，x1），（x2，0），（0，+∞），增区间：（x1，x2）．
∴有两个极值点x1，x2．
③当a=0时，g（x）=+，g′（x）=-．
减区间：（-∞，-4），（0，+∞），增区间：（-4，0）．
∴有一个极值点x=-4．
综上所述：a=0时，有一个极值点x=-4；
0＜a＜时有两个极值点x=-2±；
a≥时没有极值点．