(1)利用椭圆E的离心率,化简方程,设出切线AB的方程利用直线与圆相切,及弦长公式,即可求椭圆E的方程;
(2)表示出,利用配方法,即可求的最大值.
【解析】
(1)∵椭圆E的离心率为,∴a2=4c2,b2=3c2,
∴椭圆E:
设切线AB:y=k(x+c),即kx-y+ck=0
∴圆的圆心(-c,-2)到直线kx-y+ck=0的距离d==1
∴k=
∴切线AB为y=(x+c),
将切线方程代入,可得5x2+8cx=0
∴x1=0,x2=-
∵,∴|AB|=|x1-x2|==,∴c=1
∴椭圆E的方程为;
(2)设M(x,y),则,=(-≤y≤)
∴==
∵-≤y≤
∴y=-时,的最大值为.