Question

已知{a_n}是等比数列，公比q＞1，前n项和为
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数数{b_nb_n+1}的前n项和为T_n，求证．

Answer

（I）由=建立关于a1和q的方程，可解出q=2．从而得到数列{an}的首项a1=，得{an}的通项公式为an=a1qn-1=2n-2，由此结合题意和对数运算性质化简整理，可得bn=；
（II）根据（I）的结论，得bnbn+1=（-），代入Tn消元化简得Tn=（1-），最后结合的取值范围，利用不等式的运算性质可证出不等式成立．
【解析】
（I）===，
∴整理得2q2-5q+2=0，解之得q=2（舍）
由此可得a1==，得数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=2n-2，
∴a2n+1=22n-1，结合=2得bn==；
可得{bn}的通项公式为bn=；
（II）根据（I）的结论，得
bnbn+1==（-）
可得Tn=[（1-）+（-）+…+（-）]=（1-）
∵n∈N*，∴0＜≤，得≤1-＜1
因此，Tn=（1-）∈[，），
即不等式成立．