Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=1-a_n（n∈N^*）．各项为正数的数列{b_n}中，
对于一切n∈N^*，有，且b₁=1，b₂=2，b₃=3．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{a_nb_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜2．

Answer

（1）由Sn=1-an，解得．an=Sn-Sn-1=（1-an）-（1-an-1），由此得2an=an-1，从而得到数列{an}的通项公式．对于一切n∈N*，有，当n≥2时，有，由此得（n-1）bn+1-nbn+b1=0，从而得到数列{bn}的通项公式．
（2）由数列anbn的前n项和为Tn，知，再由错位相减法知==．由此能够证明Tn＜2．
（1）【解析】
∵Sn=1-an，
当n=1时，a1=S1=1-a1，解得．（1分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（1-an）-（1-an-1），
得2an=an-1，即．（3分）
∴数列an是首项为，公比为的等比数列．
∴．（4分）
∵对于一切n∈N*，有，①
当n≥2时，有，②
1-2②得：3
化简得：（n-1）bn+1-nbn+b1=0，③
用n+1替换③式中的n，得：nbn+2-（n+1）bn+1+b1=0，④（6分）
③-④整理得：bn+2-bn+1=bn+1-bn，
∴当n≥2时，数列bn为等差数列．
∵b3-b2=b2-b1=1，
∴数列bn为等差数列．（8分）
∵b1=1，b2=2
∴数列bn的公差d=1．
∴bn=1+（n-1）=n．（10分）
（2）证明：∵数列anbn的前n项和为Tn，
∴，⑤
∴，⑥
⑤-⑥得：（12分）==．
∴．（14分）