Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面
ABCD．
（I）证明：PA⊥BD
（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．

Answer

（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；
（II）要求棱锥D-PBC的高．只需证BC⊥平面PBD，然后得平面PBC⊥平面PBD，作DE⊥PB于E，则DE⊥平面PBC，利用勾股定理可求得DE的长．
【解析】
（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，
从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．
（II）【解析】
作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD，
则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD，
∴BC⊥BD．
故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，
则DE⊥平面PBC．
由题设知PD=1，则BD=，PB=2．
根据DE•PB=PD•BD，得DE=，
即棱锥D-PBC的高为．