Question

如图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，E，F分别是棱BC，B₁C₁上的动点，且EF∥CC₁，CD=DD₁=1，AB=2，BC=3．
（Ⅰ）证明：无论点E怎样运动，四边形EFD₁D都为矩形；
（Ⅱ）当EC=1时，求几何体A-EFD₁D的体积．

Answer

（I）要证明无论点E怎样运动，四边形EFD1D都为矩形，我们可根据已知中直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，E，F分别是棱BC，B1C1上的动点，且EF∥CC1，先由线面平行的性质定理，判断出四边形EFD1D为平行四边形，再证明其邻边相互垂直，进而得到答案．
（II）连接AE，我们易根据已知条件，结合直棱柱的几何特征和勾股定理，判断出AE到为四棱锥的高，根据CD=DD1=1，AB=2，BC=3及EC=1，我们计算出四棱锥底面面积的和高，代入棱锥体积公式即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DD1∥CC1，
∵EF∥CC1，∴EF∥DD1，（2分）
又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面ABCD∩平面EFD1D=ED，
平面A1B1C1D1∩平面EFD1D=FD1，
∴ED∥FD1，∴四边形EFD1D为平行四边形，（4分）
∵侧棱DD1⊥底面ABCD，又DE⊂平面ABCD内，
∴DD1⊥DE，∴四边形EFD1D为矩形；（5分）
（Ⅱ）证明：连接AE，∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，
∴侧棱DD1⊥底面ABCD，又AE⊂平面ABCD内，
∴DD1⊥AE，（6分）
在Rt△ABE中，AB=2，BE=2，则；（7分）
在Rt△CDE中，EC=1，CD=1，则；（8分）
在直角梯形中ABCD，；
∴AE2+DE2=AD2，即AE⊥ED，
又∵ED∩DD1=D，∴AE⊥平面EFD1D；（10分）
由（Ⅰ）可知，四边形EFD1D为矩形，且，DD1=1，
∴矩形EFD1D的面积为，
∴几何体A-EFD1D的体积为．