Question

平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，，O、M分别为CE、AB的中点．
（I）求证：OD∥平面ABC；
（II）能否在EM上找一点N，使得ON⊥平面ABDE？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．

Answer

（I）取AC的中点F，连接OF，BF，根据三角形中位定理及平行四边形的判定及性质，可得OD∥BF，进而由线面平行的判定定理得到OD∥平面ABC；
（II）当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE．先证明CM⊥面ABDE，再由ON∥CM，可得ON⊥平面ABDE．
证明：（I）取AC中点F，连接OF、FB．
∵F是AC的中点，O为CE的中点，
∴OF∥EA，且OF=EA，
又BD∥AE，且BD=AE，
∴OF∥DB，OF=DB，
∴四边形BDOF是平行四边形．
∴OD∥FB．
又∵FB⊂平面ABC，OD⊄平面ABC，
∴OD∥面ABC．
（II）当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE．
证明：取EM中点N，连接ON、CM，
∵AC=BC，M为AB中点，
∴CM⊥AB，
又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE∩面ABC=AB，CM⊂面ABC，
∴CM⊥面ABDE，
∵N是EM中点，O为CE中点，
∴ON∥CM，
∴ON⊥平面ABDE．