Question

已知关于x的函数f（x）=x²+2ax+b（其中a，b∈R）．
（1）求函数|f（x）|的单调区间；
（2）对于一切a∈[0，1]，若存在实数m，使得与能同时成立，求b-a的取值范围．

Answer

（1）f（x）=（x+a）2+a2-b开口向上，但a2-b的正负不定，所以在取绝对值时要分类讨论．在每一种情况下分别求|f（x）|的单调区间．
（2）存在实数m，使得 同时成立，即为两变量对应的函数值都小于等于 的两变量之间间隔不超过1，故须对a2-b和 ，的大小分情况讨论，求出a2-b的取值范围，进而求得b-a的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=x2+2ax+b=（x+a）2+a2-b
∴①当a2-b≥0时，单调区间为：（-∞，-a]上为减，[-a，+∞）上为增；（2分）
②当a2-b＜0时，单调区间为：减，
增，减，增（5分）
（2）①当 时，由方程 ，解得 ，
此时 ，此时不满足存在实数m，使得与能同时成立．（8分）
②当 时，由方程 ，解得
此时 ，满足存在实数m，使得与能同时成立．（11分），此时有，故对一切a∈[0，1]都成立，由此解得b-a∈[-，-]
③当 时，对一切a∈[0，1]，都不存在实数m，使得与能同时成立．
综上得b-a∈[-，-]（16分）