Question

在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，，AB=AC=AA₁=1，已知G和E分别为A₁B₁和CC₁的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的最小值是（ ）
A．
B．1
C．
D．

Answer

分别以AB、AC、AA1为xyz轴，建立如图坐标系，设AF=a，AD=b，得F、D的坐标关于a、b的形式，从而得到向量的坐标和的坐标，由•=0列式并化简，解出，从而将化简为，结合二次函数的性质可得线段DF的长度的最小值．
【解析】
分别以AB、AC、AA1为xyz轴，建立如图坐标系，
设AF=a，AD=b，则F（a，0，0），D（0，b，0）
由已知条件，得E（0，1，），G（，0，1）
∴=（-，b，-1），=（a，-1，-）
∵⊥
∴•=•=0，
化简，得，
而，把代入上式化简得：
==
∴当时，的最小值为
故选：D