Question

已知a，b∈（0，2]，函数在上为增函数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．1

Answer

先积分求出f（x）的表达式，再由f（x）在上为增函数，导数在区间上大于等于0恒成立．求出满足a，b的关系式，最后把a看成横轴，b看成纵轴，a，b在一象限围成边长为2的正方形的面积为总的基本事件，a，b关系式与正方形围成的面积为满足条件的基本事件，用面积之比求出概率．
【解析】
∵，
∴f'（x）=asinx-2bcosx．
若f′（x）≥0在区间上恒成立，则函数f（x）在区间是增函数．
∵sinx，cosx在区间上均大于0，
∴asinx≥2bcosx，，即．
∴f′（x）≥0在区间上恒成立⇔，．
∵tanx在上的最小值为，∴，．
如图所示：函数f（x）在区间上为增函数的概率为．
故选A．