Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为A（0，3），左、右焦点分别为B、C，离心率为．
（1）试求椭圆的标准方程；
（2）若直线PC的倾斜角为α，直线PB的倾斜角为β，当β-α=时，求证：①点P一定在经过A，B，C三点的圆M上；②PA=PB+PC．

Answer

（1）由b=3，=，b2+c2=a2能够推导出椭圆的标准方程．
（2）①由题设条件知△ABC为等边三角形．由此能够推导出点P一定在经过A，B，C三点的圆M上．
②PA2=x2+（y-3）2=x2+y2-6y+9，PB2=（x-）2+y2=2y+6-2x，PC2=（x+）2+y2=2y+6+2x，由此能够推导出PA=PB+PC．
【解析】
（1）因为b=3，=，b2+c2=a2，
解得a2=12，b2=9，c2=3，所以椭圆的标准方程为+=1．
（2）①因为B（-，0），C（，0），A（0，3），所以△ABC为等边三角形．
经过A，B，C三点的圆M的方程为x2+（y-1）2=4，即x2+y2-2y=3．
设点P（x，y），则kPC=tanα=，kPB=tanβ=．
因为β-α=，所以tan（β-α）=-．因为tan（β-α）==，
所以=-．化简得x2+y2-2y=3．
所以点P一定在经过A，B，C三点的圆M上．
②PA2=x2+（y-3）2=x2+y2-6y+9，因为x2+y2=3+2y，所以PA2=12-4y．
PB2=（x-）2+y2=2y+6-2x，PC2=（x+）2+y2=2y+6+2x，
2PB×PC=2=4，因为3x2=9-3y2+6y，
所以2PB×PC=4，由于y＜0，所以2PB×PC=-8y，
从而（PB+PC）2=PB2+2PB×PC+PC2=4y+12-8y=12-4y=PA2．
所以PA=PB+PC．