Question

设定义在R上的奇函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，a，b，c，d∈R．当x=-1时，f（x）取得极大值．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）判断函数y=f（x）的图象上是否存在两点，使得以这两点为切点的切线互相垂直，且切
点的横坐标在区间[-，]上，并说明理由；
（3）设x_n=1-2^-n，y_m=（3^-m-1）（m，n∈N*），求证：|f（x_n）-f（y_m）|＜．

Answer

本题考查的是利用导数求闭区间上的最值问题．在解答时，
对（1）充分利用所给性质：奇偶性、极值，即可找方程解参数；
对（2）是存在性问题，先假设存在两点满足题意，由切线垂直即可获得：f′（x1）•f′（x2）=-1．即可问题的解答；
对（3）应先将问题转化为函数在闭区间上的最值求解问题，要充分利用好xn、ym的范围．
【解析】
（1）因为函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是奇函数，
所以f（-x）=-f（x）对x∈R恒成立，则b=d=0．
所以f（x）=ax3+cx．
因为当x=-1时，f（x）取得极大值，f′（x）=3ax2+c，
所以解得所以f（x）=x3-x．

（2）存在满足题意的两点．
由（1），得f′（x）=x2-1．假设存在两切点（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），x1，x2∈[-，]．
则f′（x1）•f′（x2）=-1．所以（x12-1）（x22-1）=-1．
因为（x12-1），（x22-1）∈[-1，1]，所以或
解得或所以两切点的坐标分别为（0，0），（，-）或（0，0），（-，）．

（3）因为当x∈[，1）时，f′（x）＜0，所以f（x）在[，1）上递减．
由已知，得xn∈[，1），所以f（xn）∈（f（1），f（）]，即f（xn）∈（-，-]．
又x＜-1时，f′（x）＞0；-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，-1）上递增，f（x）在（-1，1）上递减．
因为ym=（3-m-1），所以ym∈（-，-]．
因为-＜-1＜-，且f（-）=-=＜f（-）=，
所以f（ym）∈（f（-），f（-1）]，即f（ym）∈（，]．
所以|f（xn）-f（ym）|=f（ym）-f（xn）＜-（-）=．