Question

2010年上海世博会组委会为保证游客参观的顺利进行，对每天在各时间段进入园区和离开园区的人数作了一个模拟预测．为了方便起见，以10分钟为一个计算单位，上午9点10分作为第一个计算人数的时间，即n=1；9点20分作为第二个计算人数的时间，即n=2；依此类推…，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位．
对第n个时刻进入园区的人数f（n）和时间n（n∈N^*）满足以下关系（如图1）：f（n）=，n∈N^*
对第n个时刻离开园区的人数g（n）和时间n（n∈N^*）满足以下关系（如图2）：g（n）=，n∈N^*
（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有多少游客？
（2）请求出当天世博园区内游客总人数最多的时刻．

Answer

（1）利用f（n）和g（n）求出下午3点钟即n=36时进园人数和离开园区人数，取其差值即可
（2）对n进行分类，利用f（n）-g（n）＞0还是＜0判断园中人数是增加还是减少，求得n的值
【解析】
（1）当0≤n≤24且n∈N*时，f（n）=3600，
当25≤n≤36且n∈N*时，（2分）
所以S36=[f（1）+f（2）+f（3）++f（24）]++[f（25）+f（26）++f（36）]
=3600×24+3600×
=86400+82299.59=168700；（2分）
另一方面，已经离开的游客总人数是：
T12=g（25）+g（26）++g（36）
=12×500=39000；（2分）
所以S=S36-T12=168700-39000=129700（人）
故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有129700位游客．（2分）
（2）当f（n）-g（n）≥0时园内游客人数递增；当f（n）-g（n）＜0时园内游客人数递减．
（i）当1≤n≤24时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；（2分）
（ii）当25≤n≤36时，令500n-12000≤3600，得出n≤31，
即当25≤n≤31时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；（2分）
当32≤n≤36时，，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；（2分）
（iii）当37≤n≤72时，令-300n+21600=500n-12000时，n=42，
即在下午4点整时，园区人数达到最多．
此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整．（2分）