Question

已知定义在R上的函数f（x）和数列{a_n}满足下列条件：a₁=a，a₂≠a₁，当n∈N^*且n≥2时，a_n=f（a_n-1）且f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）．
其中a、k均为非零常数．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求k的值；
（2）令b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），若b₁=1，求数列{b_n}的通项公式；
（3）试研究数列{a_n}为等比数列的条件，并证明你的结论．

Answer

（1）由题意知an=f（an-1），f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）（n=2，3，4，），得an+1-an=f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）（n=2，3，4，），由此可知an-an-1=k（an-an-1），（n=2，3，4，），得k=1．
（2）由b1=a2-a1≠0，知b2=a3-a2=f（a2）-f（a1）=k（a2-a1）≠0．因此bn=an+1-an=f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）═kn-1（a2-a1）≠0，由此可知数列{bn}是一个公比为k的等比数列．
（3）{an}是等比数列的充要条件是f（x）=kx（k≠1）；先进行充分性证明：若f（x）=kx（k≠1），则{an}是等比数列．再进行必要性证明：若{an}是等比数列，f（x）=kx（k≠1）．
【解析】
（1）由已知an=f（an-1），f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）（n=2，3，4，），得an+1-an=f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）（n=2，3，4，）
由数列{an}是等差数列，得an+1-an=an-an-1（n=2，3，4，）
所以，an-an-1=k（an-an-1），（n=2，3，4，），得k=1．（5分）
（2）由b1=a2-a1≠0，可得b2=a3-a2=f（a2）-f（a1）=k（a2-a1）≠0．
且当n＞2时，bn=an+1-an=f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）═kn-1（a2-a1）≠0
所以，当n≥2时，=，（4分）
因此，数列{bn}是一个公比为k的等比数列．（1分）
（3）【解析】
{an}是等比数列的充要条件是f（x）=kx（k≠1）（2分）
充分性证明：
若f（x）=kx（k≠1），则由已知a1=a≠0，an=f（an-1）（n=2，3，4，）得an=kan-1（n=2，3，4，）
所以，{an}是等比数列．（2分）
必要性证明：若{an}是等比数列，由（2）知，bn=kn-1（a2-a1）（n∈N*）b1+b2++bn-1=（a2-a1）+（a2-a1）++（an-an-1）=an-a1（n≥2），an=a1+（b1+b2++bn-1）．（1分）
当k=1时，an=a1+（a2-a1）（n-1）（n≥2）．
上式对n=1也成立，所以，数列{an}的通项公式为：an=a+（f（a）-a）（n-1）（n∈N*）．
所以，当k=1时，数列{an}是以a为首项，f（a）-a为公差的等差数列．
所以，k≠1．（1分）
当k≠1时，（n≥2）．
上式对n=1也成立，所以，=（1分）
所以，⇒f（a）=ka．（1分）
即，等式f（a）=ka对于任意实数a均成立．
所以，f（x）=kx（k≠1）．（1分）