Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PB．底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，点M是AB的中点，点E在棱QD上，满足DE=2PE．求证：
（1）平面PAB⊥平面PMC；
（2）直线PB∥平面EMC．

Answer

（1）根据已知中，PA=PB．底面ABCD是菱形点M是AB的中点，根据等边三角形的‘三线合一’的性质，我们易得到AB⊥平面PMC，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论；
（2）连BD交MC于F，连EF，由CD=2BM，CD∥BM，我们可以得到△CDF∽△MBF，根据三角形相似的性质，可以得到DF=2BF．再根据DE=2PE，结合平行线分线段成比例定理，易判断EF∥PB，结合线面平行的判定定理，即可得到结论．
【解析】
（1）∵PA=PB，M是AB的中点．
∴PM⊥AB．（2分）
∵底面ABCD是菱形，∴AB=AC．
∵∠ABC=60°．
∴△ABC是等边三角形．
则CM⊥AB．（4分）
∵PM∩CM=M，
∴AB⊥平面PMC．（6分）
∵AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PMC．（8分）
（2）连BD交MC于F，连EF．

由CD=2BM，CD∥BM，易得△CDF∽△MBF．
∴DF=2BF．（10分）
∵DE=2PE，∴EF∥PB．（12分）
∵EF⊂平面EMC，PB⊄平面EMC，∴PB∥平面EMC．（14分）