Question

在等腰△ABC中，已知AB=AC，B（-1，0），D（2，0）为AC的中点．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）已知直线l：x+y-4=0，求边BC在直线l上的投影EF长的最大值．

Answer

（1）设出C，进而可表示出D和A，进而利用B的坐标和AB=AC利用两点间的距离公式求得x和y的关系，进而根据A，B，C三点不共线判断出y≠0，则C点的轨迹方程可得．
（2）根据题意可求得BE的方程，设出直线CF的方程，当EF取得最大值时，直线CF与圆（x-1）2+y2=4相切．利用点到直线的距离求得b，则直线CF的方程可得．进而根据EF长的最大值是点B到CF的距离，答案可得．
【解析】
（1）设C（x，y），
∵D（2，0）为AC的中点，
∴A（4-x，-y）．
∵B（-1，0），由AB=AC，得AB2=AC2．
∴（x-5）2+y2=（2x-4）2+（2y）2．
整理，得（x-1）2+y2=4．
∵A，B，C三点不共线，∴y≠0．
则点C的轨迹方程为（x-1）2+y2=4（y≠0）．
（2）由条件，易得
BE：x-y+1=0．
设CF：x-y+b=0，
当EF取得最大值时，
直线CF与圆（x-1）2+y2=4相切．
设M（1，0），由，得（舍去），或．
∴CF：x-y=0．
∴EFmax等于点B到CF的距离
=．