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如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=PB.底面ABCD是菱形,且∠ABC=60°...

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=PB.底面ABCD是菱形,且∠ABC=60°,点M是AB的中点,点E在棱QD上,满足DE=2PE.求证:
(1)平面PAB⊥平面PMC;
(2)直线PB∥平面EMC.

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(1)根据已知中,PA=PB.底面ABCD是菱形点M是AB的中点,根据等边三角形的‘三线合一’的性质,我们易得到AB⊥平面PMC,再由面面垂直的判定定理,即可证明结论; (2)连BD交MC于F,连EF,由CD=2BM,CD∥BM,我们可以得到△CDF∽△MBF,根据三角形相似的性质,可以得到DF=2BF.再根据DE=2PE,结合平行线分线段成比例定理,易判断EF∥PB,结合线面平行的判定定理,即可得到结论. 【解析】 (1)∵PA=PB,M是AB的中点. ∴PM⊥AB.(2分) ∵底面ABCD是菱形,∴AB=AC. ∵∠ABC=60°. ∴△ABC是等边三角形. 则CM⊥AB.(4分) ∵PM∩CM=M, ∴AB⊥平面PMC.(6分) ∵AB⊂平面PAB, ∴平面PAB⊥平面PMC.(8分) (2)连BD交MC于F,连EF. 由CD=2BM,CD∥BM,易得△CDF∽△MBF. ∴DF=2BF.(10分) ∵DE=2PE,∴EF∥PB.(12分) ∵EF⊂平面EMC,PB⊄平面EMC,∴PB∥平面EMC.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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