Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，．求证：．

Answer

本题考查的是数列与不等式的综合类问题．解答时应用数学归纳法，首先验证当n=2时，然后假设当n=k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立，再分析当n=k+1时的情况，此时要注意一定要用上假设．最后下好结论即可．
证明：记所证不等式为（*）式，用数学归纳法证明如下：
（1）当n=2时，∵a1=1∴
∵∴（*）式成立．
（2）假设当n=k（k≥2，k∈N*）时，（*）式成立，
即有
那么，当n=k+1时，
令（x＞1）∵∴在（1，+∞）上是单调增函数，
而
∴
即
先证①
两边同乘，即证
即证4k2-1＜4k2上式成立，∴①式成立．
再证②
两边同乘即证
即证9k2＜9k2+3k-2∵k≥2∴上式成立，则②式成立．
则
∴当n=k+1时，（*）式也成立，
根据（1），（2）知，（*）式成立．