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已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,,则函数g(x)=xf(x)-...

已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,manfen5.com 满分网,则函数g(x)=xf(x)-1在[-6,+∞)上的所有零点之和为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
由已知可分析出函数g(x)是偶函数,则其零点必然关于原点对称,故g(x)在[-6,6]上所有的零点的和为0,则函数g(x)在[-6,+∞)上所有的零点的和,即函数g(x)在(6,+∞)上所有的零点之和,求出(6,+∞)上所有零点,可得答案. 【解析】 ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x). 又∵函数g(x)=xf(x)-1, ∴g(-x)=(-x)f(-x)-1=(-x)[-f(x)]-1=xf(x)-1=g(x), ∴函数g(x)是偶函数, ∴函数g(x)的零点都是以相反数的形式成对出现的. ∴函数g(x)在[-6,6]上所有的零点的和为0, ∴函数g(x)在[-6,+∞)上所有的零点的和,即函数g(x)在(6,+∞)上所有的零点之和. 由0<x≤2时,f(x)=2|x-1|-1, 即 ∴函数f(x)在(0,2]上的值域为[,1],当且仅当x=2时,f(x)=1 又∵当x>2时,f(x)= ∴函数f(x)在(2,4]上的值域为[,], 函数f(x)在(4,6]上的值域为[,], 函数f(x)在(6,8]上的值域为[,],当且仅当x=8时,f(x)=, 函数f(x)在(8,10]上的值域为[,],当且仅当x=10时,f(x)=, 故f(x)<在(8,10]上恒成立,g(x)=xf(x)-1在(8,10]上无零点 同理g(x)=xf(x)-1在(10,12]上无零点 依此类推,函数g(x)在(8,+∞)无零点 综上函数g(x)=xf(x)-1在[-6,+∞)上的所有零点之和为8 故选B
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