Question

设数列{a_n}为等比数列，数列{b_n}满足b_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，n∈N^*，已知b₁=m，，其中m≠0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的首项和公比；
（Ⅱ）当m=1时，求b_n；
（Ⅲ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，若对于任意的正整数n，都有S_n∈[1，3]，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由已知中数列{an}为等比数列，我们只要根据bn=na1+（n-1）a2+…+2an-1+an，n∈N*，已知b1=m，，求出a1，a2然后根据公比的定义，即可求出数列{an}的首项和公比．
（2）当m=1时，结合（1）的结论，我们不难给出数列{an}的通项公式，并由bn=na1+（n-1）a2+…+2an-1+an，n∈N*给出bn的表达式，利用错位相消法，我们可以对其进行化简，并求出bn；
（3）由Sn为数列{an}的前n项和，及（1）的结论，我们可以给出Sn的表达式，再由Sn∈[1，3]，我们可以构造一个关于m的不等式，解不等式，即可得到实数m的取值范围．在解答过程中要注意对n的分类讨论．
【解析】
（Ⅰ）由已知b1=a1，
所以a1=m
b2=2a1+a2，
所以，
解得，
所以数列{an}的公比．
（Ⅱ）当m=1时，，
bn=na1+（n-1）a2++2an-1+an①，
②，
②-①得

所以，

（Ⅲ）
因为，
所以，由Sn∈[1，3]得
，
注意到，当n为奇数时，
当n为偶数时，
所以最大值为，最小值为．
对于任意的正整数n都有，
所以，2≤m≤3．
即所求实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}．