Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，侧面SAB是等边三角形，DA⊥面SAB，DC∥AB，AB=2AD=2DC，O，E分别为AB、SD中点．
（1）求证：SO∥面AEC，BC⊥面AEC
（2）求二面角O-SD-B的余弦值．

Answer

（1）设DO，AC交于点F，连接EF，易判断AOCD为正方形，进而AC与BC垂直平分，结合已知及三角形中位线定理可得EF∥OS，进而由线面平行的判定定理得到SO∥面AEC；根据已知可先证得SO⊥面ABCD，进而得到SO⊥BC，而由BC与OD平行与AC垂直，结合线面垂直的判定定理可得BC⊥面AEC
（2）分别以OS，OB，OC为x轴，Y轴，z轴点的空间直角坐标系，设AB=2，分别求出二面角O-SD-B的两个半平面的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
证明：（1）设DO，AC交于点F，连接EF，
∵直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC，
故四边形AOCD为正方形，则F为DO中点
∵E为DS的中点
∴在△DOS中EF∥OS
又∵EF⊂面AEC，OS⊄面AEC
∴SO∥面AEC…（3分）
∵DA⊥面SAB，SO⊂面SAB
∴DA⊥SO，
又∵侧面SAB是等边三角形，O为AB的中点，
∴AB⊥SO，∵AB∩DA=A
∴SO⊥面ABCD
又∵BC⊂面ABCD
∴SO⊥BC，EF⊥BC
又BC∥DO
∴BC⊥AC，∵EF∩AC=F
∴BC⊥面AEC…（6分）
（2）分别以OS，OB，OC为x轴，Y轴，z轴点的空间直角坐标系，
设AB=2，显然AC⊥面SOD，
∴面SOD的法向量
设面SBD 的法向量为
由，
求得：是面SBD的一个法向量，
∴cosθ===
故所求二面角的余弦值为…（12分）