Question

设函数．
（Ⅰ）求f（x）的对称中心及单调递减区间；
（Ⅱ） 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=1，a=1，，求b的值及△ABC的面积．

Answer

（Ⅰ）将函数解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的对称中心为kπ（k∈Z）得到此函数的对称中心，由正弦函数的递减区间即可得到f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）由f（A）=1及第一问确定的函数解析式，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出sinA与cosA的值，由cosA，a，c的值，利用余弦定理求出b的值，再由b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解析】
（Ⅰ）f（x）=sinx+cosx+1-cosx=sinx-cosx+1=sin（x-）+1，
令x-=kπ，k∈Z，解得：x=kπ+，k∈Z，
∴f（x）的对称中心为（kπ+，1）k∈Z，
令2kπ+≤x-≤2kπ+，k∈Z，解得：2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，
则函数的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z；
（Ⅱ）∵f（A）=sin（A-）+1=1，
∴sin（A-）=0，
∴A-=0，即A=，
又a=1，c=，
∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得：1=b2+3-3b，
解得：b=1或b=2，
当b=1时，S=bcsinA=；当b=2时，S=bcsinA=．