Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．
（1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²的最大值和最小正周期；
（2）若f（x）=2f'（x），求的值．

Answer

（1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]2的最大值和最小正周期，必须先求f（x）的导数，再进行化简F（x）．再决定如何求最值和周期．
（2）根据f（x）=2f'（x），易得；再求的值，可以采用“齐次化切法”．
【解析】
（1）已知函数f（x）=sinx+cosx，则f′（x）=cosx-sinx．
代入F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]2
易得

当时，
最小正周期为
（2）由f（x）=2f'（x），易得sinx+cosx=2cosx-2sinx．
解得
∴；
答：（1）函数F（x）的最大值为，最小正周期为π；
（2）的值为．