Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点
（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求三棱锥P-AEC的体积．

Answer

（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCD的法向量和平面PAD的法向量，利用向量法能够证明平面PDC⊥平面PAD．
（2）由E（0，2，1），P（0，0，2），C（2，4，0），A（0，0，0），知，=（2，4，0），=（0，2，1），求出平面PAC的法向量，利用向量法求出点E到平面PAC的距离d，再求出△PAC的面积，由三棱锥P-AEC的体积V=，能求出结果．
（1）证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，
AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
∵PA=AB=2，BC=4，
∴P（0，0，2），C（2，4，0），D（0，4，0），
∴，，
设平面PCD的法向量，则，，
∴，∴，
∵平面PAD的法向量，
∴，
∴平面PDC⊥平面PAD．
（2）【解析】
∵E（0，2，1），P（0，0，2），C（2，4，0），A（0，0，0），
∴，=（2，4，0），=（0，2，1），
设平面PAC的法向量，则，，
∴，∴=（2，-1，0），
∴点E到平面PAC的距离d===，
∵=2，
∴三棱锥P-AEC的体积V===．