Question

已知函数f（x）=ax²+kbx（x＞0）与函数g（x）=ax+blnx，a、b、k为常数，它们的导函数分别为y=f′（x）与y=g′（x）
（1）若g（x）图象上一点p（2，g（2））处的切线方程为：x-2y+2ln2-2=0，求a、b的值；
（2）对于任意的实数k，且a、b均不为0，证明：当ab＞0时，y=f′（x）与y=g′（x）的图象有公共点；
（3）在（1）的条件下，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂）是函数y=g（x）的图象上两点，，证明：x₁＜x＜x₂．

Answer

（1）由g（x）=ax+blnx，知g（2）=2a+bln2，，，故g（x）图象上一点p（2，g（2））处的切线方程为y-2a-bln2=（a+）（x-2），由此能求出a和b．
（2）由f（x）=ax2+kbx（x＞0），利用导数的性质和韦达定理能够证明当ab＞0时，y=f′（x）与y=g′（x）的图象有公共点．
（3）由a=0，b=1，知g（x）=lnx，由此进行分类讨论，能够证明x1＜x＜x2．
【解析】
（1）∵g（x）=ax+blnx，
∴g（2）=2a+bln2，，
∴，
∴g（x）图象上一点p（2，g（2））处的切线方程为：
y-2a-bln2=（a+）（x-2），
整理，得（a+）x-y+bln2-b=0，
∵g（x）图象上一点p（2，g（2））处的切线方程为：x-2y+2ln2-2=0，
∴，解得a=0，b=1．
（2）∵f（x）=ax2+kbx（x＞0），
f′（x）=2ax+kb，
，
原题即为ab＞0时，∀k∈R有方程2ax+kb-a-=0，
即=0在x＞0时有解．
∴2ax+（kb-a）x-b=0在x＞0时有解，
∵两根之积为：-，
△=（kb-a）2+8ab
=k2b2-2abk+a2+8ab，k∈R，
∴△′=4a2b2-4b2（a2+8ab）
=4a2b2-4a2b2-32ab3
=-32ab3＜0，
∴方程2ax+（kb-a）x-b=0在x＞0时有解，
∴ab＞0时，y=f′（x）与y=g′（x）的图象有公共点．
（3）∵a=0，b=1，
∴g（x）=lnx，x＞0
∴，
∴=，
∴=，

令t=，则t＞1，令h（t）=t-1-lnt，
则h′（x）=1-=＞0，
∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴x-x1＞0，即x＞x1．
同理可得：x2＞x，
综上述：x1＜x＜x2．