Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S₁＞1，且
（1）求{a_n}通项公式；
（2）设数列{b_n}满足，并记T_n为{b_n}的前n项和，求证：．

Answer

（1）由各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足S1＞1，且，知6Sn=+3an+2，由此利用迭代法能求出{an}通项公式．
（2）由，，知，故Tn=，由此利用构造法能证明．
【解析】
（1）∵各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足S1＞1，
且，
∴6Sn=+3an+2，①
当n≥2时，，②
①-②，得：，
∴，
∴3（an+an-1）=（an+an-1）（an-an-1），
∵an＞0，
∴an-an-1=3，n≥2，
当n=1时，，
解得a1=1，或a1=2，
∵S1=a1＞1，∴a1=1，
∴数列{an}是以2为首项，以3为公差的等差数列，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴Tn=，
∵，
∴3+1＞log2（3n+2），
∴＞0，
令f（n）=，
则f（n+1）-f（n）＞0，
∴f（n）≥f（1）=＞1，
∴．