Question

在平面直角坐标系xOy中，若直线y=kx+1与曲线y=|x+|-|x-|有四个公共点，则实数k的取值范围是    ．

Answer

令t=x-==，通过分类讨论，去掉绝对值符号，得到分段函数表达式，作出其图象即可得到答案．
【解析】
t=x-==
①若x＜-1，t＜0，y=|x+|-|x-|=（-x-）-（-x）=-；
②若-1＜x＜0，t＞0，y=|x+|-|x-|=（-x-）-（x-）=-2x；
③若0＜x＜1，t＜0，则y=|x+|-|x-|=（x+）-（-x）=2x；
④若x＞1即 t＞0，则曲线y=|x+|-|x-|=（x+）-（x-）=．
∴y=，作图如右：

由于直线y=kx+1经过定点A（0，1），当过A点的直线m与曲线y=-相切时，直线m与曲线y=|x+|-|x-|有四个公共点，
设切点坐标为：（x，y），则k=（-）′=，
∴y=-=kx+1=•x+1，解得；x=-4，
∴k==；
同理，可得当直线n与曲线y=相切时，直线n与曲线y=|x+|-|x-|有四个公共点，可求得直线n的斜率为k′=-；
当过A点的直线l∥x轴，即其斜率为0时，直线l与曲线y=|x+|-|x-|有四个公共点；
综上所述，实数k的取值范围是{，0，-}．
故答案为：{，0，-}．