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已知数列{an}各项为正数,前n项和. (1)求数列{an}的通项公式; (2)...

已知数列{an}各项为正数,前n项和manfen5.com 满分网
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足manfen5.com 满分网,求数列{bn}的通项公式;
(3)在(2)的条件下,令manfen5.com 满分网,数列{cn}前n项和为Tn,求证:Tn<2.
(1)已知前n项和,当n≥2时,利用,了点数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列,从而可求数列{an}的通项公式; (2)由得,再用叠加法求数列{bn}的通项公式; (3),当n≥2时,.从而可求数列{cn}前n项和为Tn,即可证得结论. 【解析】 (1)当n=1时,, ∴,又a1>0,故a1=1.(1分) 当n≥2时,,(2分) 化简得(an+an-1)(an-an-1-1)=0,由于an>0, ∴an-an-1=1,故数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列, ∴an=n.(4分) (2)由得, ∴bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=1+3+…+3n-1=.(8分) (3),(9分) 当n=1时,; 当n≥2时,.(10分) ∴Tn=c1+c2+…+cn==.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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