Question

已知函数f（x）=2lnx-x²+ax，a∈R
（1）当a=2时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线的方程；
（2）若函数f（x）-ax+m=0在[}上有两个不等的实数根，求实数m的取值范围；
（3）若函数f（x）的图象与x轴交于不同的点A（x₁，0），B（x₂，0）且0＜x₁＜x₂，求证：f′（px₁+qx₂）＜0（其中实数p，q满足0＜p≤q，p+q=1）

Answer

（1）当a=2时，f（x）=2lnx-x2+2x，，由此能求出函数f（x）的图象在x=1处的切线的方程．
（2）方程f（x）-ax+m=0即为2lnx-x2+m=0，令g（x）=2lnx-x2+m，则g′（x）==，由此能求出函数f（x）-ax+m=0在[}上有两个不等的实数根时，实数m的取值范围
（3）由函数f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），2lnx-x2+ax=0的两个根为x1，x2，知，由此能够证明f′（px1+qx2）＜0．
【解析】
（1）当a=2时，f（x）=2lnx-x2+2x，
，
切点坐标为（1，1），
切线的斜率k=f′（1）=2，
∴切线方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0．
（2）方程f（x）-ax+m=0即为2lnx-x2+m=0，
令g（x）=2lnx-x2+m，
则g′（x）==，
∵x∈[]，∴g′（x）=0时，x=1．
当时，g′（x）＞0；
当1＜x＜e时，g′（x）＜0，
故函数g（x）在x=1取得极大值g（1）=m-1，
又g（）=m-2-，g（e）=m+2-e2，
g（e）-g（）=4-e2+＜0，
则g（e）＜g（），
故函数g（x）在[]上的最小值是g（e）．
方程f（x）-ax+m=0在[，e]上有两个不相等的实数根，
则有，
解得1＜m≤2+，
故实数m的取值范围是（1，2+]．
（3）∵函数f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），
2lnx-x2+ax=0的两个根为x1，x2，
则，
两式相减，得a=（x1+x2）-，
f（x）=2lnx-x2+ax，
，
则-2（px1+qx2）+（x1+x2）-
=-2（px1+qx2）+（x1+x2）-
=-（2q-1），（∵p+q=1）
=+（2p-1）（x2-x1），（*）
∵0＜p≤q，p+q=1，则2p≤1，
∵0＜x1＜x2，∴（2p-1）（x2-x1）≤0．
下面证明，
即证明，
令t=，∵0＜x1＜x，∴0＜t＜1，
即证明u（t）=+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立．
∵u′（t）==
=
=，
∵0＜p≤q，∴，
∵0＜t＜1，∴u′（t）＞0，
∴u（t）在（0，1）上是增函数，
则u（t）＜u（1）=0，
∴，
故（*）＜0，
所以f′（px1+qx2）＜0．