Question

数列{a_n}的前n项和为，已知{b_n}为等差数列．
（1）求q；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由，知n=1时，b1=lga1=lg（2+q），n≥2时，bn=lgan=（n-1）lg2，由{bn}为等差数列，能求出q=1．
（2）由，知bn=lgan=（n-1）lg2，故，由此利用错位相减法能够求出数列{anbn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）∵数列{an}的前n项和为，{bn}为等差数列，
∴n=1时，a1=S1=2+q，
n≥2时，，
∴n=1时，b1=lga1=lg（2+q），
n≥2时，bn=lgan=（n-1）lg2，
要使{bn}为等差数列，
则b1=lga1=lg（2+q）=0，
∴q=1．
（2）∵，
∴bn=lgan=（n-1）lg2，
∴，①
∴，②
①-②，得-Tn=2lg2+22lg2+23lg2+…+2n-1lg2-2n•（n-1）lg2
=lg2×[]
=-lg2（n•2n-2n-1+2），
∴．