Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，为A₁A上一点，且三棱锥D-ABC的体积为三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积的．
（1）证明：平面BDC₁⊥平面BDC；
（2）在直线C₁B上是否存在一点E，使A₁E平行于平面BCD，若存在，求C₁E与EB的比值；若不存在，试说明理由．

Answer

（1）先证明BC⊥平面A1ACC1，再证明C1D⊥平面BCD，即可证明平面BDC1⊥平面BDC；
（2）存在C1B的中点E，使A1E平行于平面BCD，取B1B的中点F，连接A1F，EF，A1E，证明平面A1EF∥平面BDC，即可证明A1E∥平面BCD．
（1）证明：∵三棱锥D-ABC的体积为三棱柱ABC-A1B1C1的体积的，
∴AD=AA1，即D为AA1的中点
∴AC=AD=A1D=A1C1
∴∠CDA=∠C1DA1=45°
∴C1D⊥CD
∵BC⊥平面A1ACC1，
∴C1D⊥BC
∵CD∩BC=C
∴C1D⊥平面BCD
∵C1D⊂平面BDC1，
∴平面BDC1⊥平面BDC；
（2）【解析】
存在C1B的中点E，使A1E平行于平面BCD，证明如下：
取B1B的中点F，连接A1F，EF，A1E

则A1F∥BD
∵EF∥B1C1∥BC，∴平面A1EF∥平面BDC，
∵A1E⊂平面A1EF
∴A1E∥平面BCD
此时，C1E与EB的比值为1．