Question

在数列{a_n}中，已知a₁=-1，a_n+1=2a_n-n+1，（n=1，2，3，…）．
（1）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（2）为数列{b_n}的前n项和，求S_n的表达式．

Answer

（I）此证明题应从结论中找方法，要证明数列{an-n}是等比数列，将题设中的条件an+1=2an-n+1变形为an+1-（n+1）=2（an-n）即可；
（II）由（I）结论可求出bn，由通项公式的形式可以看出，本题宜先用分组求和的技巧，然后对其一部分用错位减法求和．最后将结果综合起来．
【解析】
∵an+1=2an-n+1，∴an+1-（n+1）=2（an-n）
∴=2，a1-1=-2
∴数列{an-n}是以-2为首项，2为公比的等比数列．（6分）
（2）由（1）得：an-n=（-2）×2n-1=-2n，∴an=n-2n，bn=
∴Sn=b1+b2+…+bn==
令Tn=，则Tn=，

两式相减得：Tn==

∴Tn=，即Sn═-n    （12分）