Question

已知函数f（x）=alnx+x（a为实常数）
（1）若a=-1，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若直线y=2x-1是曲线y=f（x）的切线，求a的值．

Answer

（1）把a=-1代入函数f（x）=alnx+x，然后对其进行求导，利用导数研究函数f（x）的单调递减区间；
（2）已知直线y=2x-1是曲线y=f（x）的切线，根据导数与直线斜率的关系可得切点坐标，从而求出a值；
【解析】
（1）当a=-1代入可得f（x）=alnx+x=-lnx+x，（x＞0）
∴f′（x）=-+1=，
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴函数f（x）的单调递减区间为：[0，1]；
（2）设切点为（x，2x-1），f′（x）=1+，
直线y=2x-1是曲线y=f（x）的切线，
∴1+=2，
∴x=a，
又2x-1=alnx+x，可得alna-a+1=0，
设y=xlnx-x+1得y′=lnx，
当x＞1时，y′＞0，
y=xlnx-x+1单调递增，
∴0＜x＜1时，y′＜0，y为单调递减，
y=xlnx-x+1有唯一的零点x=1，
得a=1；