Question

已知椭圆的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），长半轴长为．
（1）（i）求椭圆C的方程；
（ii）类比结论“过圆上任一点（x，y）的切线方程是”，归纳得出：过椭圆上任一点（x，y）的切线方程是______

 +

yy

b 2

=1

Answer

（1）直接利用椭圆的焦点坐标与长半轴，求出b，然后求解椭圆的方程．
（2）（i）直接类比圆的切线方程，写出椭圆的切线方程即可．
（ii）设m（2，y1），N（2，y2），通过向量的数量积，推出y1，y2的关系，求出|MN|的表达式，利用基本不等式求出最小值即可．
【解析】
（1）（i）由焦点坐标可知c=1，长半轴长为，可知，a=，所以b=1，
所以椭圆C的方程为．
（ii）过圆上任一点（x，y）的切线方程是，
过椭圆上任一点（x，y）的切线方程是：．
（2）∵M，N是直线x=2上的两个点，
∴设m（2，y1），N（2，y2），（不妨y1＞y2）．
∵，
∴（3，y1）•（1，y2）=0，
即3+y1y2=0，由于y1＞y2．所以
y1＞0，y2＜0，
∴|MN|=y1-y2=y1+，
当且仅当y1=，y2=-，时取等号．
故|MN|的最小值为：2．
故答案为：（ii）．