Question

已知数列{a_n} 中，a₁=1，a₂=，且（n=2，3，4，…）
（1）求a₃、a₄的值；
（2）设b_n=（n∈N^*），试用b_n表示b_n+1并求{b_n} 的通项公式；
（3）设c_n=（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由数列{an} 中，a1=1，a2=，且（n=2，3，4，…），分别令n=2和n=3，能求出a3、a4的值．
（2）当n≥2时，，故当n≥2时，，所以，由累乘法能用bn表示bn+1并求出{bn} 的通项公式．
（3）由=tan（3n+3）-tan3n，能求出数列{cn}的前n项和Sn．
【解析】
（1）∵数列{an} 中，a1=1，a2=，
且（n=2，3，4，…），
∴==，
==，
∴，．…（3分）
（2）当n≥2时，，
∴当n≥2时，，
故，
累乘得bn=nb1，
∵b1=3，∴bn=3n，n∈N*．…（8分）
（3）∵
=，
∴Sn=c1+c2+…+cn
=（tan6-tan3）+（tan9-tan6）+…+（tan（3n+3）-tan3n）
=tan（3n+3）-tan3．…（13分）