Question

已知抛物线C₁：x²=y，圆C₂：x²+（y-2）²=1的圆心为M，点P在抛物线C1上，设点P坐标（x，x²），且x≠0，x≠±1，过点P作圆C₂的两条切线，并且分别交抛物线C₁于A、B两点．
（1）设PA、PB的斜率分别为k₁、k₂，试求出k₁+k₂关于x的表达式；
（2）若时，求x的值；
（3）若x=-2，求证：直线AB与圆C₂相切．

Answer

（1）设过点P的切线方程：，由与圆C2相切，知，由此能求出k1+k2关于x的表达式．
（2）设，，（x1≠x2）由，得，由此能求出当时，x的值；
（3）由kAB=x1+x2，知当x=-2时，，k1k2=1，由此能够证明AB与圆C2相切．
【解析】
（1）由于x≠±1，知过P作圆M的切线，切线斜率存在，
设过点P的切线方程：，
即与圆C2相切，
故有：，
整理得：．
依题意，k1，k2是上述方程的两根，
故有．…（4分）
（2）设，，（x1≠x2）
由，
得，
又方程有一根为x，
则另一根为k-x，
∴x1=k1-x，x2=k2-x，
∴，
由（1）知，
又x≠0，所以，，
∴，
解得，
∴…（9分）
（3）证明：由（1），（2）知kAB=x1+x2，
当x=-2时，，k1k2=1，
∴
=，
而，
即，
∴AB方程：4x-3y+1=0，
而圆C2的圆心M（0，2），
点M到AB的距离是，
圆C2的半径为1，
∴AB与圆C2相切．…（13分）